Энергия взаимодействия зарядов. Энергия электрического поля. Плотность энергии. Потенциальная энергия взаимодействия электрических зарядов: система точечных зарядов; система заряженных проводников; энергия заряженного конденсатора Энергия взаимодействия с

Лекция 2.6.

Энергия взаимодействия зарядов

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов. Энергию взаимодействия можно трактовать как энергию первого заряда в поле второго (cм.(2.1.3))

Поскольку оба представления равноправны, энергию взаимодействия этих зарядов можно записать следующим образом

где - i -тый точечный заряд системы, - потенциал поля, созданного всеми остальными зарядами системы, кроме i -того, в точке расположения заряда .

Если заряды распределены непрерывно, то, представляя систему зарядов как совокупность элементарных зарядов и переходя к интегрированию, получим выражение

где - энергия взаимодействия друг с другом элементарных зарядов первого шарика, - энергия взаимодействия друг с другом элементарных зарядов второго шарика, - энергия взаимодействия элементарных зарядов первого шарика с элементарными зарядами второго шарика. Энергии и называют собственными энергиями зарядов и . Энергию называют энергией взаимодействия зарядов и .

Энергия уединенного проводника и конденсатора

Пусть проводник имеет заряд и потенциал . Энергия проводника . Поскольку проводник является эквипотенциальной областью, то потенциал выносится из-под знака интеграла. Окончательно

Энергия конденсатора.

Пусть и - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки, а и - соответственно отрицательной. Тогда энергия конденсатора с учетом и запишется

Энергия электрического поля.

Физический смысл энергии конденсатора это не что иное, как энергия электрического поля сосредоточенного внутри него . Получим выражение для энергии плоского конденсатора через напряженность. Будем пренебрегать краевыми эффектами. Воспользуемся формулой , и выражением для емкости плоского конденсатора .

Подынтегральное выражение здесь имеет смысл энергии, заключенной в объеме. Это подводит к важной идее о локализации энергии в самом поле.

Это предположение находит подтверждение в области переменных полей. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн, которые переносят энергию.

Таким образом, носителем энергии является само поле .

Анализируя последнее выражение, можем ввести объемную плотность энергии, т.е. энергии, заключенной в единице объема

(2.6.9)

Мы получили (2.6.8) и (2.6.9) в частном случае однородного, изотропного диэлектрика в однородном электрическом поле. В этом случае векторы и сонаправлены и можно записать

При удалении заряда в бесконечность

r2 = ∞ U=U2 = 0,

потенциальная энергия заряда q2 ,

находящегося в поле заряда q1

на расстоянии r

17. Потенциал. Потенциал поля точечного заряда.

Потенциальная энергия заряда q в поле n зарядов qi

Отношение U/q не зависит от величины заряда q и является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом .

Потенциал в точке электростатического поля – физическая величина численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Это скалярная величина.

В СИ φ измеряется в Вольтах [В = Дж/Кл]

1 В – потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает энергией 1 Дж.

Е - [Н/Кл = Н·м/Кл·м = (Дж/Кл)·(1/м) = В/м].

Потенциал поля точечного заряда

Потенциал является более удобной физической величиной по с равнению с напряженностью Е

Потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов. Принцип суперпозиции для потенциалов.

Система точечных зарядов: q1 , q2 , …qn .

Расстояние от каждого заряда до некоторой точки пространства: r1 , r2 , …rn .

Работа, совершаемая над зарядом q электрическим полем остальных зарядов при его перемещении из одной точки в другую, равна алгебраической сумме работ, обусловленных каждым из зарядов в отдельности

ri 1 – расстояние от заряда qi до начального положения заряда q ,

ri 2 – расстояние от заряда qi до конечного положения заряда q .

ri 2 → ∞

Разность потенциалов. Эквипотенциальные поверхности

При перемещении заряда q 0+ в электростатическом поле из точки 1 в точку 2

r2 = ∞ → U 2 = U ∞ = 0

Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду разность потециалов ∆φ между рассматриваемой точкой и точкой, потенциал φ которой принят за 0.

Потенциал φ данной точки физического смысла не имеет, так как нельзя определить работу в данной точке.

Эквипотенциальные поверхности (поверхности равного потенциала)

1) во всех точках потенциал φ имеет одно и то же значение,

2) вектор напряженности электрического поля Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям,

3) ∆φ между двумя любыми эквипотенциальными поверхностями одинакова

– Для точечного заряда

φ = const .

r = const .

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности – параллельные линии.

Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

так как φ 1 = φ 2.

20. Связь вектора напряженности Е иразности потенциалов.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле:

Потенциальная энергия электрического поля зависит от координат x , y , z и является функцией U(x,y,z) .

При перемещении заряда:

(x+dx), (y+dy), (z+dz).

Изменение и потенциальной энергии:

Из (1)

Оператор набла (оператор Гамильтона).

14) Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда:

где Wп1 и Wп2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q, изменение потенциальной энергии равно

При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r1 и r2 от заряда Q,

Если поле создано системой точечных зарядов Q1, Q2,¼, Qn, то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:

Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q, а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q, находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q, получим

где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид

При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную. В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q:

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Qi (i = 1, 2, ... , n). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением

где r i j - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Магнитные взаимодействия: опыты Эрстеда и Ампера; магнитное поле; сила Лоренца, индукция магнитного поля; силовые линии магнитного поля; магнитное поле, создаваемое движущимся с постоянной скоростью точечным зарядом.

Магнитное поле - силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения , магнитная составляющая электромагнитного поля

Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, хотя в заметно меньшей степени) (постоянные магниты).

Опыт Эрстеда показал, что электрические токи могут действовать на магниты, однако природа магнита в то время была совершенно таинственной. Ампер и другие вскоре открыли взаимодействие электрических токов друг с другом, проявляющееся, в частности, как притяжение между двумя параллельными проводами, по которым текут одинаково направленные токи. Это привело Ампера к гипотезе, что в магнитном веществе имеются постоянно циркулирующие электрические токи. Если такая гипотеза справедлива, то результат опыта Эрстеда можно объяснить взаимодействием гальванического тока в проволоке с микроскопическими токами, которые сообщают стрелке компаса особые свойства

Сила Лоренца - сила, с которой, в рамках классической физики, электромагнитное поледействует на точечную заряженную частицу. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью заряд лишь со стороны магнитного поля, нередко же полную силу - со стороны электромагнитного поля вообще , иначе говоря, со стороны электрического и магнитного полей. Выражается в СИ как:

Для непрерывного распределения заряда, сила Лоренца принимает вид:

где d F - сила, действующая на маленький элемент dq .

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ - векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Определяет, с какой силой магнитное поле действует на заряд , движущийся со скоростью .

Более конкретно, - это такой вектор, что сила Лоренца , действующая со стороны магнитного поля на заряд , движущийся со скоростью , равна

где косым крестом обозначено векторное произведение, α - угол между векторами скорости и магнитной индукции (направление вектора перпендикулярно им обоим и направлено поправилу буравчика).

Действие магнитных полей на электрические токи: закон Био-Савара-Лапласа-Ампера и его применение для расчета силы, действующей со стороны однородного магнитного поля на отрезок тонкого прямого проводника с током; формула Ампера и ее значение в метрологии.

Рассмотрим произвольный проводник,в котором протекают токи:

dF= *ndV=[ ]*dV

З-н Био-Савара-Ампера для объемного тока:dF=jBdVsin . dF перпендикулярно ,т.е . направленно к нам. Возьмем тонкий проводник: , тогда для линейного эл-а тока з-н запишется в виде: dF=I [ ], т.е. dF=IBdlsin .

Задача 1! Имеется однородное магнитное поле. В нем нах-я отрезок провода,который имеет l и I.

d =I [ ], dF=IBdlsin , F=IBsin =IBlsin -сила Ампера.

1 Ампер-сила тока,при протекании которого по 2 || длинным,тонким проводникам,находящимся на расстоянии 1 м друг от друга действует сила равная 2*10^-7 Н на каждый метр их длины.

Задача 2! Есть 2 || длинных проводника, где l>>d,тогда d = , d d , . Тогда ф-а Ампера: *l.

Магнитный диполь: физическая модель и магнитный момент диполя; магнитное поле, создаваемое магнитным диполем; силы, действующие со стороны однородного и неоднородного магнитных полей на магнитный диполь.

ДИПОЛЬ МАГНИТНЫЙ аналог диполя электрического, к-рый можно представлять себе как два точечных магн. заряда , расположенных на расстоянии l друг от друга. Характеризуется дипольным моментом, равным по величине и направленным от .

Поля, создаваемые равными Д. м. вне области источников в вакууме (или в любой иной среде, магн. проницаемость к-рой =1), одинаковы, однако в средах с совпадение достигается, если только принять, что , т. е. считать, что дипольный момент зарядового Д. м. зависит от проницаемости

38. Теорема Гаусса для магнитного поля: интегральная и дифференциальная формы, физический смысл теоремы. Релятивистский характер магнитного поля: магнитные взаимодействия как релятивистское следствие электрических взаимодействий; взаимные преобразования электрических и магнитных полей.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

В интегральной форме

1. Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

Силы взаимодействия электрических зарядов консервативны, следовательно, система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.

Пусть даны два точечных неподвижных заряда q 1 и q 2 , находящиеся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией

; , (4.1)

где j 1,2 и j 2,1 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q 2 в точке нахождения заряда q 1 и зарядом q 1 в точке нахождения заряда q 2 .

, а . (4.3)

Следовательно,

. (4.4)

Для того чтобы в уравнение энергии системы оба заряда входили симметрично, выражение (4.4) можно записать в виде

. (4.5)

Добавляя к системе зарядов последовательно заряды q 3 , q 4 и т.д., можно убедиться, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы

, (4.6)

где j i – потенциал создаваемый в точке нахождения q i всеми зарядами, кроме i - го.

При непрерывном распределении зарядов в элементарном объеме dV находится заряд dq = r×dV. Для определения энергии взаимодействия заряда dq можно применить формулу (4.6), перейдя в ней от суммы к интегралу:

, (4.7)

где j – потенциал в точке элемента объема dV.

Надо отметить, что между формулами (4.6) и (4.7) существует принципиальное различие. Формула (4.6) учитывает только энергию взаимодействия между точечными зарядами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого из точечных зарядов между собой (собственную энергию точечного заряда). Формула (4.7) учитывает как энергию взаимодействия между точечными зарядами, так и собственную энергию этих зарядов. При расчете энергии взаимодействия точечных зарядов она сводится к интегралам по объему V i точечных зарядов:

, (4.8)

где j i - потенциал в любой точке объема i-го точечного заряда;

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

где j i ¢ - потенциал, созданный другими точечными зарядами в этой же точке;

j i с – потенциал, созданный частями i-го точечного заряда в данной точке.

Так как точечные заряды можно представить сферически симметричными, то

(4.10)

где W ¢ определяется по формуле (4.6).

Значение собственной энергии зарядов зависит от законов распределения зарядов и от величины зарядов. Например, при равномерном сферическом распределении зарядов с поверхностной плотностью s

Следовательно,

. (4.11)

Из формулы (4.11) видно, что при R®0 величина W с ®¥. Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности. Это приводит к серьезным недостаткам понятия "точечный заряд".

Таким образом, формулу (4.6) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, поскольку она не содержит их собственной энергии. Формула (4.7) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, поэтому является более общей.

При наличии поверхностных зарядов вид формулы (4.7) несколько изменяется. Подынтегральное выражение этой формулы равно и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда dq, находясь в точке с потенциалом j. Эта потенциальная энергия не зависит от того, является ли dq элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому для поверхностного распределения dq = s×dS. Следовательно, для энергии поля поверхностных зарядов

При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r1 и r2 от заряда Q,

Если поле создано системой точечных зарядов Q1, Q2,¼, Qn, то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:

34. Магнитные взаимодействия: опыты Эрстеда и Ампера; магнитное поле; сила Лоренца, индукция магнитного поля; силовые линии магнитного поля; магнитное поле, создаваемое движущимся с постоянной скоростью точечным зарядом.

Сила Лоренца - сила, с которой, в рамках классической физики, электромагнитное поледействует на точечную заряженную частицу. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью зарядлишь со сторонымагнитного поля, нередко же полную силу - со стороны электромагнитного поля вообще , иначе говоря, со стороны электрического имагнитного полей. Выражается вСИ как:

Для непрерывного распределения заряда, сила Лоренца принимает вид:

где d F - сила, действующая на маленький элемент dq .

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ -векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Определяет, с какой силой магнитное поле действует назаряд , движущийся со скоростью.

Более конкретно, - это такой вектор, чтосила Лоренца , действующая со стороны магнитного поля на заряд , движущийся со скоростью, равна

36. Действие магнитных полей на электрические токи: закон Био-Савара-Лапласа-Ампера и его применение для расчета силы, действующей со стороны однородного магнитного поля на отрезок тонкого прямого проводника с током; формула Ампера и ее значение в метрологии.

Рассмотрим произвольный проводник,в котором протекают токи:

dF =* ndV =* dV

З-н Био-Савара-Ампера для объемного тока:dF=jBdVsin. dF перпендикулярно ,т.е . направленно к нам. Возьмем тонкий проводник: , тогда для линейного эл-а тока з-н запишется в виде: dF = I , т.е. dF = IBdlsin .

Задача 1! Имеется однородное магнитное поле. В нем нах-я отрезок провода,который имеет l и I.

d = I , dF = IBdlsin , F = IBsin = IBlsin -сила Ампера.

Задача 2! Есть 2 || длинных проводника, где l>> d ,тогда d =, dd , . Тогда ф-а Ампера: *l .

37. Магнитный диполь: физическая модель и магнитный момент диполя; магнитное поле, создаваемое магнитным диполем; силы, действующие со стороны однородного и неоднородного магнитных полей на магнитный диполь.

ДИПОЛЬ МАГНИТНЫЙ аналог диполя электрического, к-рый можно представлять себе как два точечных магн. заряда , расположенных на расстоянииl друг от друга. Характеризуется дипольным моментом, равным по величинеи направленным от.

Поля, создаваемые равными Д. м. вне области источников ввакууме (или в любой иной среде, магн. проницаемость к-рой =1), одинаковы, однако в средах ссовпадение достигается, если только принять, что, т. е. считать, что дипольный момент зарядового Д. м. зависит от проницаемости

В интегральной форме

Вектор – это такая характеристика поля, которая не зависит от диэлектрических свойств среды.

В дифференциальной форме

Пусть в объеме имеется

где - средняя по объему плотность. Тогда

При стягивании объема в точку

- теорема Гаусса в дифференциальной форме

39. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции стационарного магнитного поля для вакуума: интегральная и дифференциальная формы, физический смысл теоремы; применение теоремы для расчета магнитных полей на примере магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным соленоидом с током.

Теорема. Циркуляция вектора магнитной индукции В по замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых данным контуром L , умноженной на μ 0 .

Примеры:

I 3

I 1 I 2

– ток за пределами контура.

Применяя принцип суперпозиции к магнитным полям, получаем:

Если токи протекают в сплошной среде, получаем:

Теорема Стокса:где S -поверхность ограниченная контуром L .

- теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

для электростатического поля

электростатическое поле – потенциальное, имеются источники поля – заряды.

2) для магнитного поля

магнитное поле – не потенциальное, а вихревое, нет магнитных зарядов.

Соленоид – катушка с плотнонамотанными друг к другу витками на цилиндрический сердечник, при этом l >> D (если соленоид считать бесконечным).

- индукция магнитного поля

тороида, где n – число витков на единицу длины осевой линии

40. Магнетики. Намагничивание вещества: физическая сущность явления; гипотеза Ампера о молекулярных токах; токи намагничивания, намагниченность (вектор намагничивания); связь вектора намагничивания с поверхностными и объемными токами намагничивания.

Магнетики – вещества, способные намагничиваться, если их поместить во внешнее электрическое поле. Атомы обладают магнитными моментами. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов ориентированы хаотически и суммарный магнитный момент вещества равен нулю. При внесении вещества во внеш. магн. поле, магн. моменты атомов ориентированы преимущественно в одном направлении, вследствие чего суммарный момент отличен от нуля и вещество намагничивается. Степень намагниченности магнетиков характеризуется величиной:

Намагниченность магнетика (вектор намагниченности)

Намагниченное вещество создает собственное магнитное поле с индукцией B 0 , тогда индукция результирующего магнитного поля

Намагниченность магнетика

В 0 цилиндрической формы

Напряженность магнитного поля

x<0, μ<1 – диамагнетики

x>0, μ>1 – парамагнетики

x>>0, μ>>1 – ферромагнетики

Диамагнетики – вещества, магнитные моменты атомов которых, при отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю (цветные газы, стекло, вода, золото, серебро, медь, ртуть). Для диамагнетиков магнитная восприимчивость не зависит от температуры.

Парамагнетики – вещества, магнитные моменты атомов которых, отличны от нуля (кислород, окись азота, алюминий, платина)

Ампер предположил, что внутри вещества циркулируют некоторые токи, которые он назвал молекулярными- это токи связанные с орбитальным движением электронов.

Т.О. каждый электрон, который движется по орбите атома создаёт свой ток.

Действие магнитного поля на проводник с током. З-н Ампера.

Покажем, что з-н Ампера вытекает из силы Лоренца. На каждую заряженную частицу действует сила Лоренца.

Вычислим силу, действующую на элемент

Сила на элемент тока

Сила, действующая

на элемент проводника с

током, сила Ампера.

45 Электромагнитная индукция: опыты Фарадея по электромагнитной индукции; физическая сущность явления; закон электромагнитной индукции Фарадея и его физическое обоснование, правило Ленца; принцип действия флюксметра.

Открыто Фарадеем в 1831 г. Электромагнитной индукцией называется явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока пронизывающего данный контур.

ЭДС электромагнитной индукции.

Правило Ленца: индукционный ток имеет такое направление, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызывающего данный ток.

– з-н электромагнитной индукции (з-н Фарадея).

Токи Фуко – вихревые токи, возникающие в проводящей среде при изменении магнитного потока, пронизывающего эту среду.

Величина токов Фуко зависит от частоты

изменения магнитного потока и

сопротивления материала. Вихревые токи

Фуко нагревают массивный проводник.

Потокосцепление. Индуктивность контура. Индуктивность соленоида.

N B Пусть имеется соленоид.

(магнитный поток, связанный

I с одним витком).

– потокосцепление , магнитный поток, связанный со всеми витками. Опытами установлено, что потокосцепление пропорционально току:

– индуктивность